این مطلب شامل یک سری تمرینات طراحی شده برای حل مسائل ریاضی و تفکر سیستمی است که در خصوص انتخاب وزنه برای یک ترازوی سنتی بحث می‌کند. مسئله اصلی این است که به چند وزنه نیاز داریم تا بتوانیم وزن‌های بین 1 تا 40 کیلوگرم را اندازه‌گیری کنیم. تمرینات به تدریج پیچیده‌تر می‌شوند و شامل استفاده از رویکردهای مختلف مانند تفکر سیستمی و ریاضی برای پیدا کردن کمینه تعداد وزنه‌ها است. هدف این تمرینات، تقویت مهارت‌های محاسباتی و خلاقانه است. در انتها، توضیحاتی درباره پاسخ درست و روش تحلیل مسئله ارائه شده است.
در سری مطالب حل مسئله و طراحی عضلانی برای شما تعدادی تمرین حل مسئله جمع آوری شده تا بتوانید ذهن خودتان را با چالش های محاسباتی و خلاقانه روی فرم نگه دارید.
پاسخ این مسئله در قسمت پایین همین مطلب نوشته شده است. اما پیشنهاد می‌کنیم شتاب‌زده به سراغ پاسخ نروید و کمی برای حل آن وقت بگذارید.
مسئله وزنه و ترازو
هدف از این تمرین، درک تفکر سیستمی، حل مسئله، و استفاده از استدلال ریاضی برای رسیدن به ساده‌ترین راه‌حل ممکن است.
موضوع این مسئله انتخاب وزنه برای یک ترازوی سنتی (ترازوهای دو کفه‌ای) است. این ترازو قرار است بارهایی از یک تا چهل کیلوگرم را اندازه‌گیری کند. البته وزن بارها همیشه عدد صحیح است (۱ و ۲ و ۳ و …تا ۴۰ کیلوگرم. بدون خُرده).
پرسش این است که: برای اینکه بتوانیم همه وزن های بین 1 تا 40 کیلوگرم را اندازه بگیریم به چند عدد وزنه نیاز داریم؟
برای اینکه بتوانیم همه وزن های بین 1 تا 40 کیلوگرم را اندازه بگیریم به چند عدد وزنه نیاز داریم؟
شرح مسئله:
فرض کنید شما یک ترازوی دو کفه‌ای و مجموعه‌ای از وزنه‌ها در اختیار دارید. هر وزنه می‌تواند در یکی از دو کفه قرار گیرد (همراه بار یا در طرف دیگر). وزن بارها همیشه عدد صحیح است و می‌تواند از 1 تا 40 کیلوگرم باشد.
پرسش این است:
- کمینه تعداد وزنه‌ها که بتوان با آن تمام این وزن‌ها را اندازه گرفت، چقدر است؟
- این وزنه‌ها باید چه وزن‌هایی داشته باشند؟
تمرین‌ها:
مرحله 1: فرض کنید وزنه‌ها باید به صورت بهینه انتخاب شوند. با استفاده از یک قلم و کاغذ (یا هر ابزار دیگر)، سعی کنید پاسخ دهید:
- اگر وزنه‌های شما 1، 2 و 4 کیلوگرم باشند، آیا می‌توانید همه وزن‌های بین 1 تا 40 کیلوگرم را اندازه بگیرید؟
- آیا با اضافه کردن یک وزنه دیگر به مجموعه فوق، می‌توانید به نتیجه برسید؟
مرحله 2: حالا به جای انتخاب تصادفی، از تفکر سیستمی استفاده کنید:
- سعی کنید از سیستم اعداد توان‌های 3 (مثل 1، 3، 9، …) استفاده کنید. آیا می‌توانید این رویکرد را برای پیدا کردن کمینه وزنه‌ها به کار بگیرید؟
مرحله 3: وزن‌ها را بررسی کنید و ترتیب‌های ممکن را روی ترازو بنویسید. آیا نیاز دارید وزنه‌ها را در طرف دیگر ترازو (سمت بار) قرار دهید؟
چالش پیشرفته:
فرض کنید حداکثر وزن بار قابل اندازه‌گیری 100 کیلوگرم باشد. حالا چند وزنه نیاز دارید و وزن آن‌ها چه خواهد بود؟
راهنمایی
از اصل‌های ساده ریاضی کمک بگیرید. مثلاً با استفاده از توان‌های 3، هر عدد بین 1 تا 40 می‌تواند با مجموع وزنه‌هایی در دو طرف ترازو ساخته شود.
اگر نمی‌دانید از کجا شروع کنید، وزن‌هایی مانند 1، 3، 9 و 27 را امتحان کنید.
راهنمایی بیشتر:
نخستین پاسخی که به ذهن می‌رسد، ترکیبی از وزنه‌های متعارف است. مثلاً:
- ۱ عدد وزنه یک کیلوگرمی
- ۲ عدد وزنه دو کیلوگرمی
- ۱ عدد وزنه پنج کیلوگرمی
- ۳ عدد وزنه ده کیلوگرمی
با این حساب، ما مجموعاً ۷ عدد وزنه به‌کار برده‌ایم. اما معمولاً جوابی که در نخستین لحظه به ذهن می‌رسد بهترین جواب نیست.
کسی ما را مقید نکرده که از وزنه‌های دیگر (مثلاً ۳ یا ۴ یا حتی ۲۰ و ۴۰ کیلوگرمی) استفاده نکنیم.
بنابراین اگر وزنِ وزنه‌ها را به درستی انتخاب کنیم، می‌توانیم وزنه‌های کمتری به‌کار بگیریم.
به نظر شما کمترین تعداد وزنه‌های مورد نیاز در این مسئله چند عدد است؟
پاسخ مسئله
پس از بررسی، مشخص می‌شود که تنها 4 وزنه با وزن‌های 1، 3، 9 و 27 کیلوگرم برای اندازه‌گیری تمامی اعداد از 1 تا 40 کافی هستند. این موضوع به دلیل ویژگی خاص سیستم اعداد در مبنای 3 است:
- هر عدد بین 1 تا 40 می‌تواند به شکل ترکیبی از این چهار وزنه به دست آید.
اگر کمی با شمارش در مبنای دو آشنا باشید، به سرعت می‌توانید جواب بهتری را پیشنهاد کنید: وزنه‌ها از توان دو انتخاب شوند:
- ۱ عدد وزنه یک کیلوگرمی
- ۱ عدد وزنه دو کیلوگرمی
- ۱ عدد وزنه چهار کیلوگرمی
- ۱ عدد وزنه هشت کیلوگرمی
- ۱ عدد وزنه شانزده کیلوگرمی
- ا عدد وزنه سی و دو کیلوگرمی
تا همین‌جا یک پله جلو رفته‌اید و به جای ۷ وزنه، ۶ عدد وزنه به کار برده‌اید.
اما این بهترین جواب نیست. برای این ترازو تنها چهار وزنه لازم است:
- ۱ عدد وزنه یک کیلوگرمی
- ۱ عدد وزنه سه کیلوگرمی
- ۱ عدد وزنه نه کیلوگرمی
- ۱ عدد وزنه بیست‌و‌هفت کیلوگرمی
نکته‌ی کلیدی اینجاست که برای وزن کردن، کافی است همه‌ی وزنه‌ها را در یک کفه قرار ندهید و از کفه‌ی دوم هم استفاده کنید.
مثلاً برای وزن کردن پنج کیلوگرم، می‌توانید وزنه‌ی ۹ کیلوگرمی را در یک طرف و وزنه‌های ۱ و ۳ کیلوگرمی را در طرف دیگر (کنار بار) بگذارید.
پیام آموزنده‌ی مسئله بالا این است که در صورت مسئله از ما نخواسته‌اند که همه‌ی وزنه‌ها را در یک کفه بگذاریم. این فرضی است که خودمان به مسئله اضافه کرده‌ایم و «قید نانوشته»ای است که با آن، مسئله را پیچیده‌تر کرده‌ایم.
بسیاری از مسئله‌هایی که ما در زندگی و کسب و کار با آن‌ها مواجه هستیم، یک بخش آشکار دارند که درباره‌اش حرف می‌زنیم و یک بخش پنهان دارند که مفروضات ماست. بخشی از دشواری‌های حل مسئله به همین مفروضات پنهان باز می‌گردد.
اکنون به تعدادی از مسائلی که پیش روی‌تان است فکر کنید:
- می‌خواهیم فروش‌مان ۲۰٪ افزایش پیدا کند.
- می‌خواهم تنش‌های محیط کارم کمتر شود.
- دنبال یک ایده هستم تا کسب و کار خودم را راه بیندازم.
کمی با خودتان خلوت کنید و ببینید آیا واقعاً صورت مسئله در ذهن شما در همین حد است؟ یا محدودیت‌ها و مفروضات ناخواسته و ناآگاهانه‌ی بیشتری در ادامه‌ی این جمله‌ها وجود دارد؟ محدودیت‌هایی که دست و پای شما را بیش از آن‌چه که باید، بسته‌اند.
اینکه در این تمرین ما خودمان را به یک‌سویی محدود کرده‌ایم، سوالات زیادی به ذهن می‌آورد. چه بسا که این قید نانوشته، خود نوعی چالشی در اندیشه ماست؛ چراکه گاهی اوقات بهترین راه حل‌ها در تاریکی زندگی‌مان به دور از انتظار ما قرار دارند. آیا ما همواره به انتخاب‌های محدود بسنده کرده‌ایم در حالی که ممکن است تنها چند تغییر کوچک در رویکردمان، نتایج شگفت‌آوری به همراه داشته باشد؟ اینجا یک احساس عدم اطمینان نهفته است؛ مگر اینکه خود را از قیود ذهنی رها کنیم، چگونه می‌توانیم به پاسخ‌های واقعی دست یابیم؟
